Conjetura de Collatz

Lothar Collatz

La conjetura de Collatz es una conjetura de teoría de números, debida a Lothar Collatz, que fue quien la propuso en 1937. La conjetura también es conocida como conjetura 3n + 1. La conjetura puede ser descrita como sigue. Tómese cualquier entero positivo n. Si n es par, divídase por 2 para obtener n / 2. Si n es impar, multiplíquese por 3 y súmese 1 para obtener 3n + 1. Repítase el proceso indefinidamente. La conjetura dice que independientemente del número por el que se empiece, siempre se alcanzará el 1, concretamente la secuencia 4,2,1 que se repetirá indefinidamente.

Descripción formal
Sea la siguiente operación, aplicable a cualquier número entero positivo:
Si el número es par, se divide entre 2.
Si el número es impar, se multiplica por 3 y se suma 1.

La conjetura de Collatz es: El proceso alcanzará eventualmente el número 1, independiente del entero positivo que haya sido elegido inicialmente.

El menor i tal que ai = 1 se denomina tiempo de parada total de n. La conjetura asegura que n tiene un tiempo de parada total bien definido. Si, para algún n, tal que i no exista, se dirá que n tiene un tiempo de parada infinito y la conjetura es falsa.

Dado un número cualquiera, podemos considerar su órbita, es decir, las imágenes sucesivas al iterar la función. Por ejemplo, si n=13:

Si observamos este ejemplo, la órbita de 13 es periódica, es decir, se repite indefinidamente a partir de un momento dado):13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,...

La conjetura dice que siempre alcanzaremos el 1 (y por tanto el ciclo 4, 2, 1) para cualquier número con el que comencemos. Ejemplos:
Comenzando en n = 6, uno llega a la siguiente sucesión: 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
Empezando en n = 11, la sucesión tarda un poco más en alcanzar el 1: 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

Empezando n = 27, la sucesión tiene 112 pasos, llegando hasta 9232 antes de descender a 1: 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

Estado actual del problema

Aunque no se ha demostrado la veracidad ni falsedad del resultado, existen ciertas evidencias en ambos sentidos.

Si existe algún contraejemplo a la conjetura (es decir, un número cuya secuencia no alcance nunca el 1), debe satisfacer alguna de estas condiciones:
-la órbita del número no está acotada; o bien
-la órbita también es periódica, pero con un período distinto de 4, 2, 1.
Evidencia computacional

Aunque formalmente no demuestra nada, existen diversos grupos de computación que se dedican a calcular las secuencias de números cada vez más grandes. En noviembre de 2005 se comprobó la conjetura para todas las secuencias de números menores que 2 elevado a 58. Esta es una evidencia intuitiva fuerte a favor de la veracidad del resultado, a pesar de no aportar nada formalmente hablando.

Los números que son suma de potencias de 2 exponente par, como 5 = 1 + 4, 21 = 1 + 4 + 16, 53 = 1 + 4 + 16 + 32, 85 = 1 + 4 + 16 + 64 generan el 1 en forma casi directa, como en el ejemplo:

21 · 3 + 1 = 64, que es una potencia de 2 y genera el 1 al dividir 6 veces entre 2.
Suma de potencias más tres

Al agregar un 3 al final a estos números (a partir del 1, el 13, a partir del 5, el 53, a partir del 21, el 213, a partir del 85, el 853, etc), se obtiene 5, a partir del cual se obtiene 1.

213 = 210 + 3

213 · 3 + 1 = 639 + 1 = 640 = 5 · 128

128 es una potencia de 2, por lo que, dividiendo 7 veces entre 2, se llega a 1.

Los números que son de la forma 3 mod 6 pueden considerarse como generadores de números mayores. Por ejemplo, el 31 puede generarse partiendo del 27. De la misma forma, el 111 genera el 334 que pertenece a la sucesión de números que empieza en el 27
Patrones binarios

Se ha propuesto el estudio de patrones en sistema binario para el estudio de las propiedades de los números expresados como polinomios de potencias de 2, lo que simplifica el estudio de las propiedades de los mismos. Luego pueden ser demostrados los teoremas correspondientes. Por ejemplo, los números como 5, 21, 53, 85, etc., tienen una expresión del tipo 10101..01 en sistema binario. Esos números son, entonces, los coeficientes de un polinomio en potencias pares de 2.

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.ComponentModel;
using System.Data;
using System.Drawing;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;
using System.Windows.Forms;

namespace Collatz
{
public partial class Form1 : Form
{
public Form1()
{
InitializeComponent();
}

// Variables
int numero;

private void button2_Click(object sender, EventArgs e)
{
Application.Exit();
}

private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
{
while (numero > 1)
{
if (numero %2 ==0)
{
numero = numero / 2;
}
else
{
numero = 3 * numero + 1;
}
textBox2.AppendText(Convert.ToString(numero)+ " ");
}
}

private void textBox1_TextChanged(object sender, EventArgs e)
{
numero = int.Parse(textBox1.Text);
}

}
}

https://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Collatz